正码、反码、补码

机器数

一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的，在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为0.

比如，十进制中的数 +3 ，计算机字长为8位，转换成二进制就是 00000011 。如果是 -3 ，就是 10000011 。那么，这里的 00000011 和 10000011 就是机器数。

真值

因为第一位是符号位，所以机器数的形式值就不等于真正的数值。例如上面的有符号数 10000011 ，其最高位1代表负，其真正数值是 -3 而不是形式值131。区别起见，将带符号位的机器数对应的真正数值称为机器数的真值。例：

• 0000 0001 的真值 = +000 0001 = +1，
• 1000 0001 的真值 = –000 0001 = –1

原码, 反码, 补码

在探求为何机器要使用补码之前, 让我们先了解原码, 反码和补码的概念.对于一个数, 计算机要使用一定的编码方式进行存储. 原码, 反码, 补码是机器存储一个具体数字的编码方式.

原码

原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

• +1原 = 0000 0001
• -1原 = 1000 0001

第一位是符号位. 因为第一位是符号位, 所以8位二进制数的取值范围就是:

1111 1111 , 0111 1111 即 -127 , 127

原码是人脑最容易理解和计算的表示方式。

反码

反码的表示方法是:正数的反码是其本身，负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变，其余各个位取反.

• +1 = 00000001原 = 00000001反
• -1 = 10000001原 = 11111110反

可见如果一个反码表示的是负数, 人脑无法直观的看出来它的数值. 通常要将其转换成原码再计算.

补码

补码的表示方法是:正数的补码就是其本身,负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

• +1 = 00000001原 = 00000001反 = 00000001补
• -1 = 10000001原 = 11111110反 = 11111111补

对于负数, 补码表示方式也是人脑无法直观看出其数值的. 通常也需要转换成原码在计算其数值.

为何要使用原码, 反码和补码

现在我们知道了计算机可以有三种编码方式表示一个数. 对于正数因为三种编码方式的结果都相同:

+1 = 00000001原 = 00000001反 = 00000001补

所以不需要过多解释. 但是对于负数:

-1 = 10000001原 = 11111110反 = 11111111补

可见原码, 反码和补码是完全不同的. 既然原码才是被人脑直接识别并用于计算表示方式, 为何还会有反码和补码呢?

首先, 因为人脑可以知道第一位是符号位, 在计算的时候我们会根据符号位, 选择对真值区域的加减, 但是对于计算机, 加减乘数已经是最基础的运算, 要设计的尽量简单. 计算机辨别”符号位”显然会让计算机的基础电路设计变得十分复杂! 于是人们想出了将符号位也参与运算的方法。 我们知道, 根据运算法则减去一个正数等于加上一个负数, 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以机器可以只有加法而没有减法, 这样计算机运算的设计就更简单了.于是人们开始探索 将符号位参与运算, 并且只保留加法的方法. 首先来看原码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = 00000001原 + 10000001原 = 10000010原 = -2

如果用原码表示, 让符号位也参与计算, 显然对于减法来说, 结果是不正确的.这也就是为何计算机内部不使用原码表示一个数.为了解决原码做减法的问题, 出现了反码:

计算十进制的表达式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原= 0000 0001反 + 1111 1110反 = 1111 1111反 = 1000 0000原 = -0

发现用反码计算减法, 结果的真值部分是正确的. 而唯一的问题其实就出现在”0”这个特殊的数值上. 虽然人们理解上+0和-0是一样的, 但是0带符号是没有任何意义的. 而且会有0000 0000原和1000 0000原两个编码表示0。

于是补码的出现, 解决了0的符号以及两个编码的问题:

1-1 = 1 + (-1) = 0000 0001原 + 1000 0001原 = 0000 0001补 + 1111 1111补 = 0000 0000补=0000 0000原

这样0用0000 0000表示, 而以前出现问题的-0则不存在了.而且可以用1000 0000表示-128:

(-1) + (-127) = 1000 0001原 + 1111 1111原 = 1111 1111补 + 1000 0001补 = 1000 0000补

-1-127的结果应该是-128, 在用补码运算的结果中, 1000 0000补 就是-128. 但是注意因为实际上是使用以前的-0的补码来表示-128, 所以-128并没有原码和反码表示.(对-128的补码表示1000 0000补算出来的原码是0000 0000原, 这是不正确的)

使用补码, 不仅仅修复了0的符号以及存在两个编码的问题, 而且还能够多表示一个最低数. 这就是为什么8位二进制, 使用原码或反码表示的范围为[-127, +127], 而使用补码表示的范围为[-128, 127].

因为机器使用补码, 所以对于编程中常用到的32位int类型, 可以表示范围是: [-2^31, 2^31-1] 因为第一位表示的是符号位.而使用补码表示时又可以多保存一个最小值.